1. Тяпкин А. А., Шибанов А. С. Пуанкаре. — 2-е издание. — М.: Молодая гвардия, 1982. — С. 113. — 415 с. — (Жизнь замечательных людей).

 

Источник — «https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Фукс,_Лазарь&oldid=69862827»

 

ССЫЛКА


  • Immanuel Lazarus Fuchs (* 5. Mai 1833 in Moschin, Provinz Posen; † 26. April 1902 in Berlin) war ein deutscher Mathematiker... Wikipedia

 

ФУКСА УРАВНЕНИЕ


Уравнение класса Фукса — линейное однородное обыкновенное дифференциальное уравнение в комплексной области

с аналитич. коэффициентами, все особые точки к-рого на Римана сфере являются регулярными особыми точками. Для того чтобы уравнение (1) принадлежало классу Фукса, необходимо и достаточно, чтобы его коэффициенты имели вид

где z1, ..., zk - различные точки, qj(z) - многочлен степени Система w' = A(z)w из уравнений принадлежит классу Фукса, если она имеет вид

где z1, ..., zk - различные точки, — постоянные матрицы порядка Особыми для уравнения (1) и системы (2), являются точки z1, ..., zk, оо (бесконечность). Для Ф. у. (1) справедливо тождество Фукса:

где -характеристич. показатели в точке zm, а -в точке Ф. у. (и системы) наз. также регулярными уравнениями (системами). Этот класс уравнений и систем был введен Л. Фуксом [1].
Пусть D - сфера Римана с проколами в точках z1, ..., zk, Любое нетривиальное решение Ф. у. (1) (соответственно любая компонента решения системы (2)) есть аналитическая в области D функция. Как правило, эта функция бесконечнозначна, а все особые точки уравнения (1) (системы (2)) являются ее точками ветвления бесконечного порядка.
Ф. у. 2-го порядка с особыми точками имеет вид

где Qk-2 (z) — многочлен степени k-2. Преобразование переводит Ф. у. в Ф. у., причем

а характеристич. показатели в остальных особых точках не меняются. С помощью таких преобразований уравнение (3) приводится к виду

Ф. у. 2-го порядка, имеющее N особых точек, полностью определяется заданием характеристич. показателей в этих точках тогда и только тогда, когда N<4. С помощью дробно-линейного преобразования уравнение приводится к виду: a) N=1,б) N=2, (Эйлера уравнение); в) N=3 — Папперица уравнение (или уравнение Римана).
Матричное Ф. у. имеет вид

где z1, ..., zk  — различные точки, W- матрица-функция порядка — постоянные матрицы. Матрица U т наз. дифференциальной подстановкой в точке zm. Пусть — простая замкнутая кривая с началом в неособой точке b, положительно ориентированная и содержащая внутри себя только одну особую точку zm. Если W(z) — голоморфное в точке b решение уравнения (4), то при аналитич. продолжении вдоль где V т постоянная матрица, наз. интегральной подстановкой в z т. А. Пуанкаре (Н. Poincare, см. [2]) поставил для систем вида (4) задачу, к-рая наз. прямой регулярной задачей Пуанкаре. Она состоит из следующих трех задач:
A) представление решения W(z) во всей области его существования;
Б) построение интегральных подстановок в точках 2m;
B) аналитич. характеристика особенностей решений.
В частности, решение задачи Б) позволяет построить группу монодромии уравнения (4). Решение задачи Пуанкаре было получено И.А. Лаппо-Данилевским [3]. Пусть —
гиперлогарифмы:

W0(z) - элемент (росток) в точке Ь решения уравнения (4), нормированный условием W0(b)=I и W(z) аналитическая в области . матрица-функция, порожденная этим элементом. Тогда W(z) есть целая функция от матриц U1 ,. . ., Uk и разлагается в ряд

к-рый сходится равномерно по z на любом компакте Интегральная подстановка Vm в точке zm, отвечающая решению W(z), есть целая функция от матриц U1...., Uk и разлагается в ряд

где Pj выражаются через гиперлогарифмы (см. [3], [6]).
Получены также формулы, дающие решение задачи В) (см. [3]).

Лит.:[1] Fuchs L., лJ. reine und angew. Math. Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия И. М. Виноградов 1977—1985

 

 ФУКСОВА ГРУППА

дискретная группа голоморфных преобразований (открытого) круга К на сфере Римана, т. е. круга или полуплоскости на комплексной плоскости. Чаще всего в качестве К берут верхнюю полуплоскость или единичный круг


В первом случае элементы Ф. г. являются дробно-линейными преобразованиями с действительными коэффициентами, и Ф. г. представляет собой не что иное, как дискретную подгруппу группы PSL2. Во втором случае элементы Ф. г. являются дробно-линейными преобразованиями с псевдоунитарными матрицами.
Если рассматривать круг К как конформную модель плоскости Лобачевского, то Ф. г. может быть определена как дискретная группа его движений, сохраняющих ориентацию. Ф. г. представляют собой частный случай клейновых групп.
Произвольные Ф. г. впервые рассматривались А. Пуанкаре (Н. Poincare, см. [2]) в 1882 в связи с проблемой униформизации. Группы были названы им фуксовыми в честь Л. Фукса, работа [1] к-рого стимулировала введение этого понятия. Для описания Ф. г. Пуанкаре применил комбинаторно-геометрич. метод, ставший впоследствии одним из основных методов теории дискретных групп преобразований. Понятие Ф. г. послужило основой для теории автоморфных функций, созданной А. Пуанкаре и Ф. Клейном (F. Klein).
Ф. г., сохраняющая какую-либо точку в замыкании круга Кили прямую в смысле геометрии Лобачевского, наз. элементарной. Если Г — неэлементарная Ф. г., то множество L(Г) предельных точек рбиты точки лежащее на граничной окружности не зависит от их наз. предельным множеством группы Г. Группа Г наз. Ф. г. 1-го рода, если и 2-го рода — в противном случае (тогда L(Г) нигде не плотное совершенное подмножество в
Конечно порожденная Ф. г. является Ф. г. 1-го рода тогда и только тогда, когда площадь (в смысле геометрии Лобачевского) ее фундаментальной области конечна. В качестве фундаментальной области такой группы Г всегда может быть выбран выпуклый многоугольник Р плоскости Лобачевского со сторонами a1, b'1, a'1, b1 ..., ag, b'g, a'g, bg, с1, с'1, ..., с n, с'п таким образом, что

для нек-рых элементов


порождающих группу Г с определяющими соотношениями


где ki- целое число или Элемент оставляет на месте вершину С i многоугольника Р, общую сторонам с i и c'i. Он является эллиптическим, если и параболическим, если в последнем случае вершина С i лежит на окружности т. е. является бесконечно удаленной точкой плоскости Лобачевского. Всякий эллиптич. или параболич. элемент группы Г сопряжен степени нек-рого однозначно определенного образующего Углы многоугольника Р при вершинах С i, i = 1, ..., п, равны сумма всех остальных углов равна Стороны а i и а'i, а также bi и b'i, ci и c'i имеют одинаковую длину. Обратно, всякий выпуклый многоугольник на плоскости Лобачевского, удовлетворяющий этим условиям, является фундаментальным многоугольником описанного выше типа нек-рой конечно порожденной Ф. г. 1-го рода.
Всякая система образующих группы Г, к-рая получается описанным способом, наз. стандартной. При абстрактном изоморфизме конечно порожденных Ф. г. 1-го рода, отображающем множество параболич. элементов одной группы на множество параболич. элементов другой группы, всякая стандартная система образующих переходит в стандартную систему образующих.
Площадь фундаментальной области группы Г равна — где

Набор чисел (g; k1, ..., kn), где k1, ..., kn считаются неупорядоченными, является топологич. инвариантом группы Г как группы гомеоморфизмов круга и наз. ее сигнатурой. Единственным ограничением на сигнатуру является условие

Для подгруппы конечного индекса Ф. г. Г имеет место формула Римана - Гурвица:

Во всякой Ф. г. существует подгруппа конечного индекса, не имеющая элементов конечного порядка.
Факторпространство К/Г компактифицируется путем добавления конечного числа точек, соответствующих бесконечно удаленным вершинам фундаментального многоугольника. На компактифицированном пространстве. имеется единственная комплексная структура, для к-рой отображение факторизации голоморфно. При этом S является римановой поверхностью рода g, а отображение р- регулярным разветвленным накрытием с индексами ветвления k1, ..., kn. Обратно, теорема униформизации утверждает, что для любой компактной римановой поверхности S рода gс отмеченными точками х 1, ..., х п и для любых k1 ..., ..., kn(ki- целое число или удовлетворяющих условию (*), существует регулярное голоморфное разветвленное накрытие ветвящееся в точности над точками x1, ..., х п с индексами ветвления k1, ..., ..., kn соответственно. Накрытие определено однозначно с точностью до автоморфизма круга К. Его группа скольжений есть Ф. г. сигнатуры (g; k1, ..., kn).
Конечно порожденные Ф. г. 1-го рода фиксированной сигнатуры (g; k1, ..., kn) могут быть параметризованы точками нек-рого (Зn-3+п)-мерного комплексного многообразия, гомеоморфного клетке, - т. н. пространства Тайхмюллера .(g; k1, ...,kn) (см. [4]). При атом двум точкам пространства Тайхмюллера соответствует одна и та же (с точностью до сопряженности в группе автоморфизмов круга) Ф. г. тогда и только тогда, когда эти точки эквивалентны относительно нек-рой дискретной группы голоморфных преобразований пространства Т(g; k1, ..., kn) — т. н. модулярной группы Mod (g; k..., kn). Имеется изоморфизм

при к-ром группа Mod (g; kl, ..., kn) переходит в подгруппу конечного индекса группы
Если Ф. г. сигнатуры (g; k1, ..., kn) содержит подгруппу конечного индекса сигнатуры (h; l1, ..., l т), то пространство (g; k1, ..., kn) естественным образом вкладывается в виде замкнутого подмножества в пространство Т (h; l1, ..., lm). В нек-рых исключительных случаях эти пространства совпадают [10]. Напр., Т(2)=Т(0; 2, 2, 2, 2, 2, 2); это означает, что всякая компактная риманова поверхность рода 2 допускает гиперэллиптич. инволюцию и, значит, является гиперэллиптич. кривой.
Для Ф. г. сигнатуры (0; k1, k2, k3), называемых треугольными группами, и только для них, пространство Тайхмюллера состоит из одной точки. Всякая треугольная группа является подгруппой индекса 2 в группе, порожденной отражениями относительно сторон треугольника с углами (см. Отражений группа). Примером треугольной группы служит модулярная группа Клейна; ее сигнатура равна
Всякая конечно порожденная Ф. г. 2-го рода топологически (как группа гомеоморфизмов круга) изоморфна конечно порожденной Ф. г. 1-го рода и допускает аналогичное геометрич. описание, с той разницей, что нек-рые пары сторон фундаментального многоугольника не имеют общих точек, даже бесконечно удаленных, а соответствующие образующие являются гиперболич. преобразованиями. Компактифицированное факторпространство представляет собой рима-нову поверхность с краем.
Всякая бесконечно порожденная Ф. г. является свободным произведением циклич. подгрупп. Ее фундаментальная область может быть построена как предел фундаментальных областей конечно порожденных групп (см. [5]).

Лит.:[1] Fuchs L., лJ. reine und angew. Math.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985

 

ТЕОРЕМА РИМАНА-ФУКСА

Решения уравнений класса Фукса продолжаются на универсальную накрывающую над комплексной осью t с выколотыми полюсами коэффициентов, задают группу монодромии и регулярны (растут не быстрее не­которой степени расстояния до особой точки в любом секторе с вершиной в этой точке). Оказывается, эти свойства присущи только решениям уравнений класса Фукса.

Теорема ([56]). Пусть росток голоморфной вектор-функ­ции <р голоморфно продолжается на универсальную накрываю­щую над сферой Римана с выколотыми точками аь ..., ат, оо и, определитель Вронского продолженной вектор-функции (обозначаемой также <р) нигде не обращается в нуль. Пусть росток <р задает группу монодромии: при продолжении над каждой петлей, принадлежащей проколотой сфере Римана, ли­нейное пространство, порожденное компонентами ростка, испы­тывает линейный автоморфизм. Пусть это продолжение регу­лярно: когда t стремится к выколотой точке а, оставаясь внут­ри некоторого сектора с вершиной а, модуль <р (t) растет не быстрее некоторой степени расстояния до а на сфере Римана. Тогда существует уравнение класса Фукса, для которого <р — росток фундаментальной системы решений.

Следствие 1. Любая алгебраическая функция одного пе­ременного удовлетворяет уравнению класса Фукса.

4 Рассмотрим множество £2 неособых точек функции; пусть р&2 — произвольная точка. Обозначим через Ф,, ...,фт ростки голоморфных функций в точке р, соответствующие разным листам алгебраической функции. Выберем среди них максималь­ное число линейно независимых фь ..., Ф„ (п может быть т. меньше т; пример: t ). Росток Ф = (ФЬ ...,Ф„) продолжается на универсальную накрывающую У и порождает группу моно­дромии: листы алгебраической функции при продолжении вдоль петель переставляются. Определитель Вронского вектор-функции Ф (обозначаемый W) умножается на константу (равную опре­делителю преобразования монодромии); поэтому W=0 над. конечным числом точек  их следует тоже выколоть.

Регулярность алгебраической функции в особых точках дока­зывается элементарно. Тем самым, можно применить предыду­щую теорему. ►

Следствие 2. Абелев интеграл, зависящий от параметра* рассмотренный в п. 5.2 главы 6, удовлетворяет уравнению клас­са Фукса (соответствующее уравнение называется уравнением Пикара-Фукса).

^ Докажем это, полагая, что Я — правильный многочлен. Точками ветвления интеграла являются критические значения Я и оо; монодромия описывается теоремой Пикара—Лефшепа [24]; регулярность доказывается элементарно. ^

 

ПРИЛОЖЕНИЯ


ВЕЙЕРШТРАСС (Weierstrass) Карл Теодор Вильгельм (1815—97), нем. математик, ин. ч.-к.  (1864) и ин. поч. ч. (1895) Петерб. АН. Тр. по матем. анализу, теории функций, вариац. исчеслению, дифференц. геометрии и линейной алгебре. Разработал систему логич. обоснования матем. анализа.

КЛЕЙН (Klein) Феликс (1849—1925), нем. математик, ин. ч.-к. Петерб. АН (1895). Тр. по геометрии, оказавшие значит. влияние на её развитие; непрерывным группам; алгебр. ур-ниям; элиптич. и автоморфорным функциям. Занимался вопросами матем. образования.

КУММЕР (Kummer) Эрнст Эдуард (1810—93), нем. математик, ин. ч.-к. Петерб. АН (1862). Один из создателей теории алгебр. чисел. Тр. по геометрии, матем. анализу, теоретич. механике.

ПУАНКАРЕ (Poincare) Жюль Анри (1854—1912), франц. математик, физик и философ, ин. ч. к. Петерб. АН (1895). Тр. по дифференц. ур-ниям, теории аналитич. функций, топологии, небесной механике, матем. физике. В тр. "О динамике электрона" (1905, опубл. 1906) независимо от А. Эйнштейна развил матем. следствия "постулата относительности". В философии основатель конвенционализма.

ЖОРДАН (Jordan) Камиль (1838—1922), франц. математик, ин. ч.-к. Петерб. АН (1895). Тр. по алгебре, теории ф-ций, топологии и кристаллографии.

Советский Энциклопедический Словарь. 1980

 

УРАВНЕНИЕ, равенство между двумя функциями одной или нескольких неизвестных величин. Решениями (корнями) У. наз. значения неизвестных, при к-рых У. обращается в числовое тождество. Напр., решениями уравнения 2x = у - z будут числа х = 0, у = 1, z = 1, а также числа х=1, у = 5, z = 3 и т. д. Решить У. значит найти все его решения. У., справедливое при всех значениях входящих в него неизвестных, наз. тождеством, напр.

х2 - у2 = (х + у) (х - у).

У. наз. алгебраическим, если над входящими в него неизвестными величинами произведены лишь сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня. Решение алгебраич. У. с одним неизвестным всегда можно привести к решению У. вида

a0хп  + - а1хп-1 + ... + ап-1Х + ап = 0

(число п, при условии а0 = 0, наз. степенью У.). Задачи на У. 1-й и 2-й степеней умели решать еще в Древнем Вавилоне. Правила решения У. 3-й и 4-й степеней были найдены в 16 в. Нем. математик К. Гаусс в 1799 доказал, что У. п-й степени всегда имеет п действительных или комплексных корней, среди к-рых могут быть равные. Важным этапом в дальнейшем развитии теории алгебраич. У. явилось доказательство того, что выразить решение У. выше 4-й степени через его коэфициенты с помощью сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и извлечения корней в общем случае невозможно (1-я треть 19 в.). При решении систем из нескольких У. с несколькими неизвестными, вообще говоря, стремятся к получению одного У. с одним неизвестным путём исключения остальных. Общий способ решения систем У. 1-й степени даётся в теории определителей. Неалгебраич. У. наз. трансцендентными, напр. 2х = х. Общего метода для решения таких У. не существует; на практике при их решении, как и при решении алгебраич. У. высших степеней, применяют приближённые методы решения У.

Энциклопедический Словарь. 1953—1955

 

На страницу ► Фукс в 14—19 вв. Однофамильцы


Условия использования материалов